Question

13．根據(jù)下列條件，寫(xiě)出數(shù)列的前4項(xiàng)，并歸納猜想它的通項(xiàng)公式．
（1）a₁=a，a_n+1=$\frac{1}{{2-a}_{n}}$；
（2）對(duì)一切的n∈N^*，a_n＞0，且2$\sqrt{{S}_{n}}$=a_n+1．

Answer 1

分析 分別由已知數(shù)列遞推式求出數(shù)列的前4項(xiàng)，然后例歸納猜測(cè)可得兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．

解答 解：（1）∵a₁=a，a_n+1=$\frac{1}{{2-a}_{n}}$，
∴${a}_{2}=\frac{1}{2-{a}_{1}}=\frac{1}{2-a}$，${a}_{3}=\frac{1}{2-{a}_{2}}=\frac{1}{2-\frac{1}{2-a}}=\frac{2-a}{3-2a}$，${a}_{4}=\frac{1}{2-{a}_{3}}=\frac{1}{2-\frac{2-a}{3-2a}}=\frac{3-2a}{4-3a}$，
由數(shù)列的前4項(xiàng)歸納${a}_{n}=\frac{（n-1）-（n-2）a}{n-（n-1）a}$；
（2）由a_n＞0，且2$\sqrt{{S}_{n}}$=a_n+1，得$2\sqrt{{a}_{1}}={a}_{1}+1$，解得a₁=1，
$2\sqrt{{a}_{1}+{a}_{2}}={a}_{2}+1$，解得a₂=3，
$2\sqrt{{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}}={a}_{3}+1$，解得a₃=5，
$2\sqrt{{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}+{a}_{4}}={a}_{4}+1$，解得a₄=7，
由數(shù)列的前4項(xiàng)歸納猜測(cè)a_n=2n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了由數(shù)列的部分項(xiàng)歸納猜測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，是中檔題．