Question

2．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$（n∈N^*），求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 把已知的數(shù)列遞推式變形，可得數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}構(gòu)成以1為首項(xiàng)，以$\frac{1}{3}$為公差的等差數(shù)列，求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式后可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答 解：由a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$（n∈N^*），得$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{3}$，
即$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{3}$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}構(gòu)成以1為首項(xiàng)，以$\frac{1}{3}$為公差的等差數(shù)列，
則$\frac{1}{{a}_{n}}=1+\frac{1}{3}（n-1）=\frac{n+2}{3}$，
∴${a}_{n}=\frac{3}{n+2}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，是中檔題．