Question

2．若實數(shù)數(shù)列：1，a，81成等比數(shù)列，則圓錐曲線x²+$\frac{y^2}{a}$=1的離心率是（　　）

• A． $\sqrt{10}$ 或$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$
• B． $\sqrt{3}$或$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• C． $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$
• D． $\frac{1}{3}$或10

Answer 1

分析 由等比數(shù)列的可得a的值，分類討論可求曲線的離心率．

解答 解：∵實數(shù)數(shù)列：1，a，81成等比數(shù)列，
∴a²=81，解得a=9或a=-9，
當(dāng)a=9時，曲線方程為x²+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1表示焦點在y軸的橢圓，
其中a=3，c=$\sqrt{9-1}$=2$\sqrt{2}$，故離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$；
當(dāng)a=-9時，曲線方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1表示焦點在x軸的雙曲線，
其中a=1，c=$\sqrt{1+9}$=$\sqrt{10}$，故離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{10}$；
故選：A．

點評 本題考查等比數(shù)列和圓錐曲線，涉及分類討論的思想，屬基礎(chǔ)題．