Question

12．函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$（sinωx+cosωx）（ω＞0）對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f（$\frac{π}{4}$+x）=f（$\frac{π}{4}$-x），則f（$\frac{π}{4}$）等于（　�。�

• A． $\sqrt{2}$或0
• B． -2或2
• C． $\sqrt{2}$或-$\sqrt{2}$
• D． -$\sqrt{2}$或0

Answer 1

分析 利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{4}$），根據(jù)f（$\frac{π}{4}$+x）=f（$\frac{π}{4}$-x），可得故函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{4}$對(duì)稱，有ω=4k+1，k∈z，解得ω的值，代入x=$\frac{π}{4}$，化簡(jiǎn)即可求得結(jié)果．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$（sinωx+cosωx）=2sin（ωx+$\frac{π}{4}$），
對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f（$\frac{π}{4}$+x）=f（$\frac{π}{4}$-x），
故函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{4}$對(duì)稱，
故有ω•$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，
∴ω=4k+1，k∈z，
令k=0，可得：ω=1，則f（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$（sin$\frac{π}{4}$+cos$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$×（$\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$）=2．
令k=1，可得：ω=5，則f（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$（sin$\frac{5π}{4}$+cos$\frac{5π}{4}$）=$\sqrt{2}$×[-（$\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$）]=-2．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩角和的正弦公式，正弦函數(shù)的對(duì)稱性，屬于中檔題．