【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)面BB1C1C為菱形,.
(1)求證:B1C⊥AB;
(2)若∠CBB1=60°,AC=BC,且點(diǎn)A在側(cè)面BB1C1C上的投影為點(diǎn)O,求二面角B﹣AA1﹣C的余弦值.
【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2).
【解析】
(1)由側(cè)面BB1C1C為菱形,得B1C⊥BO,再由AC=AB1,O為B1C的中點(diǎn),得B1C⊥AO,利用直線與平面垂直的判定可得B1C⊥平面ABO,從而得到B1C⊥AB;
(2)點(diǎn)A在側(cè)面BB1C1C上的投影為點(diǎn)O,即AO⊥平面BB1C1C,由(1)知OB⊥OB1,以O為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以OB,OB1,OA所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.分別求出平面BAA1 的一個(gè)法向量與平面ACA1的一個(gè)法向量,由兩法向量所成角的余弦值可得二面角B﹣AA1﹣C的余弦值.
(1)證明:∵側(cè)面BB1C1C為菱形,∴B1C⊥BO,又AC=AB1,O為B1C的中點(diǎn),∴B1C⊥AO,
而AO∩BO=O,∴B1C⊥平面ABO,得B1C⊥AB;
(2)解:∵點(diǎn)A在側(cè)面BB1C1C上的投影為點(diǎn)O,即AO⊥平面BB1C1C,又由(1)知OB⊥OB1,
∴以O為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以OB,OB1,OA所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
∵∠CBB1=60°,AC=BC,
設(shè)BC=2a,則,,,,
,,.
設(shè)平面BAA1 的一個(gè)法向量為,
由,取z1=1,得;
設(shè)平面ACA1的一個(gè)法向量為,
由,取,得.
∴.由圖可知,二面角B﹣AA1﹣C為銳角,
∴二面角B﹣AA1﹣C的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)討論函數(shù)在上的單調(diào)性;
(Ⅱ)判斷當(dāng)時(shí),與的圖象公切線的條數(shù),并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在衡陽(yáng)市“創(chuàng)全國(guó)文明城市”(簡(jiǎn)稱“創(chuàng)文”)活動(dòng)中,市教育局對(duì)本市A,B,C,D四所高中學(xué)校按各校人數(shù)分層抽樣,隨機(jī)抽查了200人,將調(diào)查情況進(jìn)行整理后制成下表:
學(xué)校 | A | B | C | D |
抽查人數(shù) | 10 | 15 | 100 | 75 |
“創(chuàng)文”活動(dòng)中參與的人數(shù) | 9 | 10 | 80 | 49 |
假設(shè)每名高中學(xué)生是否參與“創(chuàng)文”活動(dòng)是相互獨(dú)立的
(1)若本市共8000名高中學(xué)生,估計(jì)C學(xué)校參與“創(chuàng)文”活動(dòng)的人數(shù);
(2)在上表中從A,B兩校沒(méi)有參與“創(chuàng)文”活動(dòng)的同學(xué)中隨機(jī)抽取2人,求恰好A,B兩校各有1人沒(méi)有參與“創(chuàng)文”活動(dòng)的概率;
(3)在隨機(jī)抽查的200名高中學(xué)生中,進(jìn)行文明素養(yǎng)綜合素質(zhì)測(cè)評(píng)(滿分為100分),得到如上的頻率分布直方圖,其中.求a,b的值,并估計(jì)參與測(cè)評(píng)的學(xué)生得分的中位數(shù).(計(jì)算結(jié)果保留兩位小數(shù)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2020年1月1日《天津日?qǐng)?bào)》發(fā)表文章總結(jié)天津海河英才計(jì)劃成果“厚植熱土 讓天下才天津用”——我市精細(xì)服務(wù)海河英才優(yōu)化引才結(jié)構(gòu).“海河英才”行動(dòng)計(jì)劃,緊緊圍繞“一基地三區(qū)”定位,聚焦戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)人才需求,大力、大膽集聚人才.政策實(shí)施1年半以來(lái),截至2019年11月30日,累計(jì)引進(jìn)各類人才落戶23.5萬(wàn)人.具體比例如圖所示,新引進(jìn)兩院院士,長(zhǎng)江學(xué)者,杰出青年科學(xué)基金獲得者等頂尖領(lǐng)軍人才112人.記者李軍計(jì)劃從人才庫(kù)中隨機(jī)選取一部分英才進(jìn)行跟蹤調(diào)查采訪.
(1)李軍抽取了8人其中學(xué)歷型人才4人,技能型人才3人,資格型人才1人,周二和周五隨機(jī)進(jìn)行采訪,每天4人(4人順序任意),周五采訪學(xué)歷型人才人數(shù)不超過(guò)2人的概率;
(2)李軍抽取不同類型的人才有不同的采訪補(bǔ)貼,學(xué)歷型人才500元/人,技能型人才400元/人,資格型人才600元/人,則創(chuàng)業(yè)型急需型人才最少補(bǔ)貼多少元/人使每名人才平均采訪補(bǔ)貼費(fèi)用大于等于500元/人?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,E是棱AB的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)F是側(cè)面ACC1A1(包括邊界)上一點(diǎn),若EF//平面BCC1B1,則動(dòng)點(diǎn)F的軌跡是( )
A.線段B.圓弧
C.橢圓的一部分D.拋物線的一部分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x+1|﹣|2x﹣2|的最大值為M,正實(shí)數(shù)a,b滿足a+b=M.
(1)求2a2+b2的最小值;
(2)求證:aabb≥ab.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方體中,P,Q,M,N,H,R是各條棱的中點(diǎn).
①直線平面;②;③P,Q,H,R四點(diǎn)共面;④平面.其中正確的個(gè)數(shù)為( )
A.1B.2C.3D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,且與的圖象有一條斜率為1的公切線(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)求;
(2)設(shè)函數(shù),證明:當(dāng)時(shí),有且僅有2個(gè)零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知正四棱錐的側(cè)棱和底面邊長(zhǎng)相等,在這個(gè)正四棱錐的條棱中任取兩條,按下列方式定義隨機(jī)變量的值:
若這兩條棱所在的直線相交,則的值是這兩條棱所在直線的夾角大小(弧度制);
若這兩條棱所在的直線平行,則;
若這兩條棱所在的直線異面,則的值是這兩條棱所在直線所成角的大小(弧度制).
(1)求的值;
(2)求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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