Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$
（1）證明f（x）是奇函數(shù)；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性，并用定義證明
（3）求f（x）在[1，2]上的最值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用奇函數(shù)的定義進行判斷，可得結(jié)論．
（2）由條件利用函數(shù)的單調(diào)性的定義進行證明，可得結(jié)論．
（3）由條件利用函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）在[1，2]上的最值．

解答 解：（1）由于函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$的定義域為R，f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{{1-2}^{x}}{1{+2}^{x}}$=-f（x），
故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（2）由于f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=$\frac{{2}^{x}+1-2}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，設(shè)x₁＜x₂，則${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，
根據(jù)f（x₁）-f（x₂）=[1-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$]-[1-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$]=$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$ 
=$\frac{2{（2}^{{x}_{1}}+1）-2{（2}^{{x}_{2}}+1）}{{（2}^{{x}_{2}}+1）•{（2}^{{x}_{1}}+1）}$=$\frac{2•{（2}^{{x}_{1}}{-2}^{{x}_{2}}）}{{（2}^{{x}_{2}}+1）•{（2}^{{x}_{1}}+1）}$＜0，∴f（x₁）＜f（x₂），
故函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)．
（3）在[1，2]上，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，故當x=1時，函數(shù)f（x）取得最小值為$\frac{1}{3}$，
當x=2時，函數(shù)f（x）取得最大值為$\frac{3}{5}$．

點評 本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷和證明，函數(shù)的單調(diào)性的判斷、證明、以及應(yīng)用，屬于中檔題．