Question

16．已知圓C的圓心在射線3x-y=0（x≥0）上，與直線x=4相切，且被直線3x+4y+10=0截得的弦長為$4\sqrt{3}$．
（Ⅰ） 求圓C的方程；
（Ⅱ） 點(diǎn)A（1，1），B（-2，0），點(diǎn)P在圓C上運(yùn)動，求|PA|²+|PB|²的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依題意設(shè)圓C的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0），圓心在射線3x-y=0（x≥0）上，所以3a-b=0…①．圓與直線x=4相切，所以|a-4|=r…②…圓被直線3x+4y+10=0截得的弦長為$4\sqrt{3}$，所以${（{\frac{{|{3a+4b+10}|}}{5}}）^2}+{（{2\sqrt{3}}）^2}={r^2}$…③，求出方程的解得到a的值，即可確定出圓C的方程；
（Ⅱ）解法1：設(shè)t=x₀-y₀，即x₀-y₀-t=0．該直線與圓必有交點(diǎn)，所以$\frac{|t|}{{\sqrt{2}}}≤4$，即可求出|PA|²+|PB|²的最大值．
解法2：由$x_0^2+y_0^2=16$可設(shè)x₀=4sinα，y₀=4cosα，即可求出|PA|²+|PB|²的最大值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)圓C的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0）…（1分）
圓心在射線3x-y=0（x≥0）上，所以3a-b=0…①．…（2分）
圓與直線x=4相切，所以|a-4|=r…②…（3分）
圓被直線3x+4y+10=0截得的弦長為$4\sqrt{3}$，所以${（{\frac{{|{3a+4b+10}|}}{5}}）^2}+{（{2\sqrt{3}}）^2}={r^2}$…③…（4分）
將①②代入③，可得（3a+2）²+12=（a-4）²，化簡得2a²+5a=0，解得a=0或$a=-\frac{5}{2}$（舍去）…（6分）
所以b=0，r=4，于是，圓C的方程為x²+y²=16．…（7分）
（Ⅱ）假設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），則有$x_0^2+y_0^2=16$．…（8分）${|{PA}|^2}+{|{PB}|^2}={（{{x_0}-1}）^2}+{（{{y_0}-1}）^2}+{（{{x_0}+2}）^2}+{（{{y_0}-0}）^2}=2x_0^2+2y_0^2+2{x_0}-2{y_0}+6$=38+2（x₀-y₀）．下求x₀-y₀的最大值．…（10分）
解法1：設(shè)t=x₀-y₀，即x₀-y₀-t=0．該直線與圓必有交點(diǎn)，所以$\frac{|t|}{{\sqrt{2}}}≤4$，解得$|t|≤4\sqrt{2}$，等號當(dāng)且僅當(dāng)直線x₀-y₀-t=0與圓x²+y²=16相切時成立．
于是t的最大值為$4\sqrt{2}$，所以|PA|²+|PB|²的最大值為$38+8\sqrt{2}$．…（12分）
解法2：由$x_0^2+y_0^2=16$可設(shè)x₀=4sinα，y₀=4cosα，于是${x_0}-{y_0}=4sinα-4cosα=4\sqrt{2}sin（{α-\frac{π}{4}}）$，所以當(dāng)$sin（{α-\frac{π}{4}}）=1$時，x₀-y₀取到最大值$4\sqrt{2}$，
所以|PA|²+|PB|²的最大值為$38+8\sqrt{2}$．…（12分）

點(diǎn)評 此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：點(diǎn)到直線的距離公式，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，垂徑定理，勾股定理，點(diǎn)到直線的距離公式，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，是一道綜合性較強(qiáng)的題．