Question

2．若向量$\overrightarrow{OA}$=（1，7），$\overrightarrow{OB}$=（5，1），$\overrightarrow{OC}$=（2，1），點(diǎn)O，M，C三點(diǎn)共線，$\overrightarrow{MA}$$•\overrightarrow{MB}$的最小值是-8．

Answer 1

分析 根據(jù)O，M，C三點(diǎn)共線，得出$\overrightarrow{OM}$=t$\overrightarrow{OC}$，t∈R；
再用坐標(biāo)表示出$\overrightarrow{MA}$與$\overrightarrow{MB}$，求出$\overrightarrow{MA}$$•\overrightarrow{MB}$的最小值即可．

解答 解：向量$\overrightarrow{OA}$=（1，7），$\overrightarrow{OB}$=（5，1），$\overrightarrow{OC}$=（2，1），
且O，M，C三點(diǎn)共線，
∴$\overrightarrow{OM}$=t$\overrightarrow{OC}$，t∈R；
∴$\overrightarrow{MA}$=$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OA}$-t$\overrightarrow{OC}$=（1-2t，7-t），
$\overrightarrow{MB}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OB}$-t$\overrightarrow{OC}$=（5-2t，1-t）；
∴$\overrightarrow{MA}$$•\overrightarrow{MB}$=（1-2t）（5-2t）+（7-t）（1-t）=5t²-20t+12=5（t-2）²-8≥-8，
∴$\overrightarrow{MA}$$•\overrightarrow{MB}$的最小值是-8．
故答案為：-8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算與數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及二次函數(shù)的最值問題，是基礎(chǔ)題目．