Question

10．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（　�。�

• A． y=-x²
• B． $y=\frac{-1}{x}$
• C． $y=x+\frac{1}{x}$
• D． y=x|x|

Answer 1

分析 根據(jù)偶函數(shù)的定義可判斷選項(xiàng)A為偶函數(shù)，而根據(jù)反比例函數(shù)在定義域上的單調(diào)性知B在定義域上沒(méi)有單調(diào)性，根據(jù)減函數(shù)的定義可以判斷出C在（0，1）上為減函數(shù)，這便可判斷A，B，C這三個(gè)選項(xiàng)錯(cuò)誤，而根據(jù)奇函數(shù)的定義及二次函數(shù)、分段函數(shù)的單調(diào)性可判斷D正確．

解答 解：A．y=-x²為偶函數(shù)，∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B.$y=\frac{-1}{x}$在定義域上沒(méi)有單調(diào)性，∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C.$y=x+\frac{1}{x}$，x∈（0，1）時(shí)，x增大時(shí)，$\frac{1}{x}$的減小幅度大于x的增大幅度，從而y減��；
∴該函數(shù)在（0，1）上為減函數(shù)，∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D．y=x|x|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}}&{x≥0}\\{-{x}^{2}}&{x＜0}\end{array}\right.$，顯然該函數(shù)為奇函數(shù)；
x≥0時(shí)，y=x²為增函數(shù)，x＜0時(shí)，y=-x²為增函數(shù)，且x²＞-x²；
∴該函數(shù)在R上為增函數(shù)，即該選項(xiàng)正確．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 考查奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義，反比例函數(shù)在定義域上沒(méi)有單調(diào)性，減函數(shù)的定義，含絕對(duì)值函數(shù)的處理方法：去絕對(duì)值號(hào)，二次函數(shù)的單調(diào)性的判斷，分段函數(shù)單調(diào)性的判斷．