Question

5．設(shè)拋物線E：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M為拋物線E上一點(diǎn)，|MF|的最小值為2，若點(diǎn)P為拋物線E上任意一點(diǎn)，A（4，1），則|PA|+|PF|的最小值為（　　）

• A． 4+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． 7
• C． 6
• D． 4+2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，得焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，再設(shè)點(diǎn)P在準(zhǔn)線上的射影為D，則根據(jù)拋物線的定義可知|PF|=|PD|進(jìn)而把問題轉(zhuǎn)化為求|PA|+|PD|取得最小，進(jìn)而可推斷出當(dāng)D，P，A三點(diǎn)共線時(shí)|PA|+|PD|最小，答案可得．

解答 解：由題意，|MF|的最小值為2，
∴$\frac{p}{2}$=2，
∴p=4，
∴拋物線E：y²=8x，
拋物線y²=8x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)是（2，0 ）；
設(shè)點(diǎn)P在準(zhǔn)線上的射影為D，則根據(jù)拋物線的定義可知|PF|=|PD|，
∴要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小，
當(dāng)D，P，A三點(diǎn)共線時(shí)|PA|+|PD|最小，為4-（-2）=6，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，判斷當(dāng)D，P，A三點(diǎn)共線時(shí)|PA|+|PD|最小，是解題的關(guān)鍵．