Question

2．已知數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均不為0，其前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=1，S_n=$\frac{{{a_n}{a_{n+1}}}}{2}$，則S₂₀=210．

Answer 1

分析 把已知數(shù)列遞推式變形為2S_n=a_na_n+1，結(jié)合首項(xiàng)求得a₂，且得到2S_n-1=a_n-1a_n（n≥2），進(jìn)一步作差可得數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列．分組后利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和得答案．

解答 解：由S_n=$\frac{{{a_n}{a_{n+1}}}}{2}$，得2S_n=a_na_n+1，
∴2a₁=a₁a₂，又a₁=1，
∴a₂=2；
由2S_n=a_na_n+1，
得2S_n-1=a_n-1a_n（n≥2），
兩式相減得：2a_n=a_n（a_n+1-a_n-1），
∵a_n≠0，
∴a_n+1-a_n-1=2（n≥2）．
即數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，
偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列．
∴S₂₀=（a₁+a₃+…+a₁₉）+（a₂+a₄+…+a₂₀）
=$10×1+\frac{10×9}{2}×2+10×2+\frac{10×9}{2}×2$=210．
故答案為：210．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了數(shù)列的分組求和與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．