Question

7．如圖1，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，CC₁=AB=AC=2，∠BAC=90°，D為BC的中點．
（Ⅰ）（圖2）給出了該三棱柱三視圖中的正視圖，請據(jù)此在框內(nèi)對應(yīng)位置畫出它的側(cè)視圖；
（Ⅱ）求證：A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅲ）若點P是線段A₁C上的動點，求三棱錐P-AB₁D的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）（圖2）給出了該三棱柱三視圖中的正視圖，根據(jù)直觀圖可得側(cè)視圖；
（Ⅱ）求連接A₁C交A₁C于A₁C點，連接A₁C，則A₁C為A₁C的中點，證明A₁C∥A₁C，即可證明A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅲ）求出點P到平面AB₁D的距離等于點C到平面AB₁D的距離，利用等體積轉(zhuǎn)化，即可求三棱錐P-AB₁D的體積．

解答 解：（Ⅰ）該三棱柱的左視圖如下
…（3分）
證明：（Ⅱ）連接A₁C交A₁C于A₁C點，連接A₁C，則A₁C為A₁C的中點．

又∵A₁C為A₁C的中點，
∴A₁C是A₁C的中位線．
∴A₁C∥A₁C．…（5分）
∵AB₁D平面AB₁D，AB₁D平面AB₁D，
∴A₁C∥平面AB₁D．…（7分）
解：（Ⅲ）∵AA₁⊥底面ABC，且CC₁=AB=AC=2，∠BAC=90°．
∴AD⊥BC，且$AD=\sqrt{2}，DC=\sqrt{2}$，故${S_{△ACD}}=\frac{1}{2}AD•DC=1$．…（8分）
又∵點P是線段A₁C上的動點，由（Ⅱ）可知A₁C∥平面AB₁D，
故點P到平面AB₁D的距離等于點C到平面AB₁D的距離．…（9分）
∴${V_{P-A{B_1}D}}={V_{C-A{B_1}D}}={V_{{B_1}-ACD}}$．…（11分）
又∵BB₁⊥面ABC，
∴$\frac{1}{3}{S_{△ACD}}•B{B_1}$═$\frac{1}{3}{S_{△ACD}}•B{B_1}$=$\frac{1}{3}×1×2$=$\frac{2}{3}$．
即三棱錐P-AB₁D的體積為$\frac{2}{3}$．…（12分）

點評 本題考查的是三視圖，考查線面平行的判定，考查三棱錐體積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．