Question

15．班主任為了對(duì)本班學(xué)生的考試成績進(jìn)行分析，決定從本班24名女同學(xué)，18名男同學(xué)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為7的樣本進(jìn)行分析．
（I）如果按照性別比例分層抽樣，可以得到多少個(gè)不同的樣本？（寫出算式即可，不必計(jì)算出結(jié)果）
（Ⅱ）如果隨機(jī)抽取的7名同學(xué)的數(shù)學(xué)，物理成績（單位：分）對(duì)應(yīng)如表．

學(xué)生序號(hào)i	1	2	3	4	5	6	7
數(shù)學(xué)成績xi	60	65	70	75	85	87	90
物理成績yi	70	77	80	85	90	86	93

若規(guī)定85分以上（包括85分）為優(yōu)秀，從這7名同學(xué)中抽取3名同學(xué)，記3名同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理成績均為優(yōu)秀的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）按照性別比例分層抽樣，先求出男生應(yīng)該抽取3人，女生應(yīng)該抽取4人，由此能求出按照性別比例分層抽樣，可以得到不同的樣本的個(gè)數(shù)．
（Ⅱ）由已知得這7名同學(xué)中，數(shù)學(xué)和物理成績均為優(yōu)秀的有3人，ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）按照性別比例分層抽樣，
男生應(yīng)該抽�。�$\frac{18}{24+18}$×7=3人，女生應(yīng)該抽�。�$\frac{24}{24+18}×7$=4人，
∴按照性別比例分層抽樣，可以得到不同的樣本的個(gè)數(shù)為：${C}_{18}^{3}•{C}_{24}^{4}$個(gè)．
（Ⅱ）由已知得這7名同學(xué)中，數(shù)學(xué)和物理成績均為優(yōu)秀的有3人，ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{4}{35}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{18}{35}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{12}{35}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{1}{35}$．
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{4}{35}$	$\frac{18}{35}$	$\frac{12}{35}$	$\frac{1}{35}$

Eξ=$0×\frac{4}{35}+1×\frac{18}{35}+2×\frac{12}{35}+3×\frac{1}{35}$=$\frac{9}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分層抽樣的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．