Question

11．若存在實數(shù)k和b，使得函數(shù)f（x）和g（x）對定義域內的任意x均滿足：[f（x）-（kx+b）][g（x）-（kx+b）]≤0，且存在x₁使得f（x₁）-（kx₁+b）=0，存在x₂使得g（x₂）-（kx₂+b）=0，則稱直線l：y=kx+b為函數(shù)f（x）和g（x）的“分界線”．在下列說法中正確的是（　�。�

• A． 任意兩個一次函數(shù)最多存在一條“分界線”
• B． “分界線”存在的兩個函數(shù)的圖象最多只有兩個交點
• C． f（x）=x²-2x與g（x）=-x²+4的“分界線”是y=-x+2
• D． f（x）=x²與g（x）=-（x-1）²的“分界線”是y=0或$y=x-\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由[f（x）-（kx+b）][g（x）-（kx+b）]≤0，可得f（x）和g（x）在直線y=kx+b的兩側，同時f（x）和g（x）都和直線y=kx+b相交，利用數(shù)形結合進行求解判斷即可．

解答 解：由[f（x）-（kx+b）][g（x）-（kx+b）]≤0，可得f（x）和g（x）在直線y=kx+b的兩側，
由f（x₁）-（kx₁+b）=0和g（x₂）-（kx₂+b）=0得f（x）和g（x）都和直線y=kx+b相交，
A．任意兩個函數(shù)相交時，過交點的直線有很多條，
故任意兩個一次函數(shù)存在無數(shù)條“分界線”如圖：故A錯誤，

B．當f（x）=x（x-1）（x+1）+1，g（x）=-x（x-1）（x+1）+1，滿足y=1是f（x）和g（x）的分界線，但此時f（x）與g（x）有3個交點，故B錯誤，

C．由x²-2x=-x²+4得x²-x-2=0，得x=2或x=-1，此時A（-1，3），B（2，0），過A，B的直線為y=-x+2，
則f（x）=x²-2x與g（x）=-x²+4的“分界線”是y=-x+2，故C正確，

D．作出f（x），g（x）和y=0或$y=x-\frac{1}{2}$的圖象，由圖象知$y=x-\frac{1}{2}$與f（x）和g（x）沒有交點，不滿足條件f（x₁）-（kx₁+b）=0和g（x₂）-（kx₂+b）=0，．
故D錯誤，

故選：C

點評 本題主要考查命題的真假判斷，利用條件得到“分界線”的定義，利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵．綜合性較強，有一定的難度．