Question

8．等差數(shù)列{a_n}中，a₂=4，a₄+a₇=15．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求b₁+b₂+b₃+…+b₁₀的值．

Answer 1

分析 （I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d．運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得首項(xiàng)和公差，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)；
（Ⅱ）變形${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（n+2）（n+3）}=\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}$，運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和，即可得到所求值．

解答 解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d．
由已知得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+d=4\\（{{a_1}+3d}）+（{{a_1}+6d}）=15\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=3\\ d=1\end{array}\right.$，
所以a_n=a₁+（n-1）d=n+2；
（Ⅱ）∵a_n=n+2，
∴${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（n+2）（n+3）}=\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}$，
∴${b_1}+{b_2}+…+{b_{10}}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{12}-\frac{1}{13}=\frac{1}{3}-\frac{1}{13}=\frac{10}{39}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．