Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=cos（2x-$\frac{4π}{3}$）+2cos²x，
（Ⅰ）求f（x）的最大值，并寫出使f（x）取最大值時x的集合；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若f（B+C）=$\frac{3}{2}$，a=1，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先化簡函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求f（x）的最大值，并寫出使f（x）取最大值時x的集合；
（Ⅱ）利用f（B+C）=$\frac{3}{2}$，求出A，根據(jù)a=1，利用余弦定理，結(jié)合基本不等式，即可求△ABC的面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x-$\frac{4π}{3}$）+2cos²x=-$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+1+cos2x=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1，
∴f（x）的最大值為2，此時2x+$\frac{π}{3}$=2kπ，∴x=kπ-$\frac{π}{6}$，
∴使f（x）取最大值時x的集合為{x|x=kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z}；
（Ⅱ）∵f（B+C）=$\frac{3}{2}$，
∴cos[2（B+C）+$\frac{π}{3}$]+1=$\frac{3}{2}$，
∴B+C=$\frac{2π}{3}$，
∴A=$\frac{π}{3}$．
∵a=1，
∴1=b²+c²-2bc•$\frac{1}{2}$≥2bc-bc，
∴bc≤1，
∴S=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴△ABC的面積的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查三角函數(shù)的化簡，考查余弦定理，三角形的面積公式，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．