Question

9．直線y=x-m與拋物線y²=2x相交于A，B兩點，且OA⊥OB求直線AB的方程．并求弦長．

Answer 1

分析 聯(lián)立直線和拋物線方程，化為關(guān)于x的一元二次方程后利用根與系數(shù)關(guān)系求出兩個交點A，B的橫縱坐標(biāo)的乘積，再由OA⊥OB代入坐標(biāo)，聯(lián)立后即可求得m的值．得到直線方程，弦長公式求出|AB|．

解答 解：直線方程代入拋物線方程整理得：
x²-（2m+2）x+m²=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則x₁+x₂=2+2m，x₁x₂=m²
y₁y₂=x₁x₂-m（x₁+x₂）+m²=2m²-2m-2m²=-2m，
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0
則m²-2m=0
∴m=2（0舍去），
直線AB的方程為：y=x-2．
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{2}-{x}_{1}|$=$\sqrt{2}$$•\sqrt{（2+2m）^{2}-4{m}^{2}}$=$\sqrt{2}•\sqrt{36-16}$=2$\sqrt{10}$．

點評 本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，解答此類問題的常用方法是借助于一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，然后結(jié)合已知條件列式求解，是中檔題．