Question

6．在棱長為a正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC₁和BD₁相交于點O，則有（　�。�

• A． $\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{{A_1}C}=2{a^2}$
• B． $\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=\sqrt{2}{a^2}$
• C． $\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{{A_1}O}=\frac{1}{2}{a^2}$
• D． $\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AO}={a^2}$

Answer 1

分析 以D為坐標(biāo)原點，以DA為x軸，以DC為y軸，以DD₁為軸，建立空間坐標(biāo)系，如圖所示，分別根據(jù)向量的數(shù)量積的運算法則計算即可．

解答 解：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱長為a，令a=1，
以D為坐標(biāo)原點，以DA為x軸，以DC為y軸，以DD₁為軸，建立空間坐標(biāo)系，如圖所示，
∴A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），A₁（1，0，1），C₁（0，1，1），D₁（0，0，1），
∴O（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{AB}$=（0，1，0），$\overrightarrow{AC}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-1，1，-1），$\overrightarrow{{A}_{1}O}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{BC}$=（-1，0，0），$\overline{AO}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=1，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=1，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{{A}_{1}O}$=$\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}$，
∴只有C正確，
故選：C．

點評 本題考查了空間向量的計算問題，建立空間坐標(biāo)系是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．