Question

1．已知數(shù)列{a_n}滿足：${a_1}=1，{a_{n+1}}=\frac{a_n}{{{a_n}+2}}（n∈N*）$，${C_n}=（1+\frac{1}{a_n}）（\frac{2}{n+1}-λ）$，若{C_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，則實數(shù)λ的取值范圍是（　�。�

• A． λ$≥\frac{1}{3}$
• B． λ$＞\frac{1}{3}$
• C． λ$≥\frac{4}{3}$
• D． λ$＞\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}滿足：${a_1}=1，{a_{n+1}}=\frac{a_n}{{{a_n}+2}}（n∈N*）$，兩邊取倒數(shù)可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$+1，變形為：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+1=2$（\frac{1}{{a}_{n}}+1）$，利用等比數(shù)列的通項公式可得$\frac{1}{{a}_{n}}$，代入${C_n}=（1+\frac{1}{a_n}）（\frac{2}{n+1}-λ）$=2ⁿ$（\frac{2}{n+1}-λ）$．由于{C_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，可得c_n+1＜c_n，化簡整理，利用函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足：${a_1}=1，{a_{n+1}}=\frac{a_n}{{{a_n}+2}}（n∈N*）$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$+1，
變形為：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+1=2$（\frac{1}{{a}_{n}}+1）$，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{a}_{n}}+1\}$是等比數(shù)列，首項為2，公比為2．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$+1=2ⁿ，
∴${C_n}=（1+\frac{1}{a_n}）（\frac{2}{n+1}-λ）$=2ⁿ$（\frac{2}{n+1}-λ）$，
∵{C_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，
∴c_n+1＜c_n，
∴2ⁿ⁺¹$（\frac{2}{n+2}-λ）$＜2ⁿ$（\frac{2}{n+1}-λ）$，
化為：λ＞$\frac{2n}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{2}{n+\frac{2}{n}+3}$，
令f（x）=x+$\frac{2}{x}$+3，（x∈[1，+∞））．
f′（x）=1-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-2}{{x}^{2}}$，可知當x≥$\sqrt{2}$時，單調(diào)遞增；
而f（1）=6，f（2）=6，
∴f（x）的最小值為6，
因此$\frac{2}{n+\frac{2}{n}+3}$的最大值為$\frac{1}{3}$，
∴$λ＞\frac{1}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、函數(shù)與數(shù)列的單調(diào)性、單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．