Question

9．已知數(shù)列{a_n}中a₁=1，對?n∈N^*，函數(shù)f（x）=x²-a_n+1cosx+2a_n+1在定義域內(nèi)有唯一的零點．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知得f（0）=0-a_n+1+2a_n+1=0，又a₁+1=2，從而{a_n+1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由b_n=$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，能求出數(shù)列{b_n}的前n項和．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}中a₁=1，對?n∈N^*，函數(shù)f（x）=x²-a_n+1cosx+2a_n+1，
∴f'（x）=2x+2a_n+1sinx，
∵f（x）=x²-a_n+1cosx+2a_n+1，
∴f'（0）=0，f（0）=0-a_n+1+2a_n+1=0，
∴a_n+1=2a_n+1，∴a_n+1+1=2（a_n+1），
又a₁+1=2，∴{a_n+1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴${a}_{n}+1={2}^{n}$，
∴${a}_{n}={2}^{n}-1$．
（2）b_n=$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和：
T_n=1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$
=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、構(gòu)造法和裂項求和法的合理運用．