Question

17．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F（-c，0）關(guān)于直線bx+cy=0的對(duì)稱點(diǎn)P在橢圓上，則橢圓的離心率是（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)出P的坐標(biāo)，利用對(duì)稱知識(shí)，結(jié)合橢圓方程推出橢圓幾何量之間的關(guān)系，然后求解離心率即可．

解答 解：設(shè)P（m，n），由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n}{m+c}=\frac{c}}\\{b•\frac{m-c}{2}+\frac{cn}{2}=0}\end{array}\right.$，
∴m=$\frac{c^{2}-{c}^{3}}{{a}^{2}}$，n=-$\frac{2b{c}^{2}}{{a}^{2}}$，代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
解得e²（4e⁴-4e²+1）+4e²=1，
可得，4e⁶+e²-1=0．
即4e⁶-2e⁴+2e⁴-e²+2e²-1=0，
可得（2e²-1）（2e⁴+e²+1）=0
解得e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查對(duì)稱知識(shí)以及計(jì)算能力．