Question

15．已知函數(shù)f（x）=a^x-log_ax，要使f（x）恒有兩個零點，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （1，e${\;}^{\frac{1}{e}}}$）
• B． （1，e]
• C． （1，e²）
• D． （e${\;}^{\frac{1}{e}}}$，e²）

Answer 1

分析 由f（x）=0得a^x=log_ax，構造函數(shù)f（x）=a^x與g（x）=log_ax，關于y=x對稱，只需要討論與y=x有兩個解即可，構造函數(shù)h（x）=a^x-x，求函數(shù)的導數(shù)，只須h（x）的最小值小于0，即可．

解答 解：由f（x）=0得a^x=log_ax，
設函數(shù)f（x）=a^x與g（x）=log_ax，則兩個函數(shù)關于y=x對稱，只需要討論與y=x有兩個解即可，
令h（x）=a^x-x，則函數(shù)h（x）有兩個零點，
當0＜a＜1時，函數(shù)h（x）為減函數(shù)，至多有一個零點不滿足要求，
當a＞1時，令h′（x）=a^xlna-1=0，則x=${log}_{a}\frac{1}{lna}$，
當0＜x＜${log}_{a}\frac{1}{lna}$時，h′（x）＜0，此時函數(shù)h（x）為減函數(shù)；
當x＞${log}_{a}\frac{1}{lna}$時，h′（x）＞0，此時函數(shù)h（x）為增函數(shù)；
故當x=${log}_{a}\frac{1}{lna}$時，函數(shù)h（x）取最小值
若函數(shù)h（x）有兩個零點，則h（${log}_{a}\frac{1}{lna}$）＜0，
即${a}^{{log}_{a}\frac{1}{lna}}＜{log}_{a}\frac{1}{lna}$，
即$\frac{1}{lna}={log}_{a}e＜{log}_{a}\frac{1}{lna}$，
即$e＜\frac{1}{lna}$，
即$0＜lna＜\frac{1}{e}$，
即$1＜a＜{e}^{\frac{1}{e}}$，
故實數(shù)a的取值范圍是（1，e${\;}^{\frac{1}{e}}$），
故選：A

點評 本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，反函數(shù)，導數(shù)法判斷函數(shù)的單調性，導數(shù)法求函數(shù)的最值，涉及的知識點較多，綜合性較強，運算量大，屬于難題．