Question

15．已知函數(shù)f（x）=a^x-log_ax，要使f（x）恒有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（　　）

• A． （1，e${\;}^{\frac{1}{e}}}$）
• B． （1，e]
• C． （1，e²）
• D． （e${\;}^{\frac{1}{e}}}$，e²）

Answer 1

分析 由f（x）=0得a^x=log_ax，構(gòu)造函數(shù)f（x）=a^x與g（x）=log_ax，關(guān)于y=x對(duì)稱，只需要討論與y=x有兩個(gè)解即可，構(gòu)造函數(shù)h（x）=a^x-x，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，只須h（x）的最小值小于0，即可．

解答 解：由f（x）=0得a^x=log_ax，
設(shè)函數(shù)f（x）=a^x與g（x）=log_ax，則兩個(gè)函數(shù)關(guān)于y=x對(duì)稱，只需要討論與y=x有兩個(gè)解即可，
令h（x）=a^x-x，則函數(shù)h（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)h（x）為減函數(shù)，至多有一個(gè)零點(diǎn)不滿足要求，
當(dāng)a＞1時(shí)，令h′（x）=a^xlna-1=0，則x=${log}_{a}\frac{1}{lna}$，
當(dāng)0＜x＜${log}_{a}\frac{1}{lna}$時(shí)，h′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)h（x）為減函數(shù)；
當(dāng)x＞${log}_{a}\frac{1}{lna}$時(shí)，h′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)h（x）為增函數(shù)；
故當(dāng)x=${log}_{a}\frac{1}{lna}$時(shí)，函數(shù)h（x）取最小值
若函數(shù)h（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，則h（${log}_{a}\frac{1}{lna}$）＜0，
即${a}^{{log}_{a}\frac{1}{lna}}＜{log}_{a}\frac{1}{lna}$，
即$\frac{1}{lna}={log}_{a}e＜{log}_{a}\frac{1}{lna}$，
即$e＜\frac{1}{lna}$，
即$0＜lna＜\frac{1}{e}$，
即$1＜a＜{e}^{\frac{1}{e}}$，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，e${\;}^{\frac{1}{e}}$），
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，反函數(shù)，導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量大，屬于難題．