Question

3．m∈R，函數(shù)f（x）=mx-lnx+1．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向下平移1個單位后得到g（x）的圖象，且x₁=$\sqrt{e}$（e為自然對數(shù)的底數(shù)）和x₂是函數(shù)g（x）的兩個不同的零點，求m的值并證明：x₂＞e$\sqrt{e}$．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的定義域，求導(dǎo)數(shù)，通過f′（x）=0，得x=1，利用導(dǎo)函數(shù)的符號，推出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）利用g（x）=mx-lnx，且x₁=$\sqrt{e}$是函數(shù)g（x）的零點，推出m值，利用函數(shù)的零點判定定理，結(jié)合函數(shù)g（x）在（2$\sqrt{e}$，+∞）上單調(diào)遞增，求解即可．

解答 （1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）．求導(dǎo)得f′（x）=m-$\frac{1}{x}$=$\frac{mx-1}{x}$．
①若m≤0，則f′（x）＜0，f（x）是（0，+∞）上的減函數(shù)，無極值；    …（2分）
②若m＞0，令f′（x）=0，得x=$\frac{1}{m}$．…（3分）
當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{m}$）時，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)；
當(dāng)x∈（$\frac{1}{m}$，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)．…（5分）
所以當(dāng)x=$\frac{1}{m}$時，f（x）有極小值，極小值為f（$\frac{1}{m}$）=2-ln$\frac{1}{m}$=2+lnm．
綜上所述，當(dāng)m≤0時，f（x）的遞減區(qū)間為（0，+∞），無極值；
當(dāng)m＞0時，f（x）的遞增區(qū)間為（$\frac{1}{m}$，+∞），遞減區(qū)間為（0，$\frac{1}{m}$），極小值為2+lnm．…（6分）
（2）證明：因為g（x）=mx-lnx，且x₁=$\sqrt{e}$是函數(shù)g（x）的零點，
所以g（$\sqrt{e}$）=0，即m$\sqrt{e}$-$\frac{1}{2}$=0，解得m=$\frac{1}{{2\sqrt{e}}}=\frac{{\sqrt{e}}}{2e}$．…（8分）
所以g（x）=$\frac{1}{{2\sqrt{e}}}x$-lnx．因為g（${e}^{\frac{3}{2}}$）=$\frac{e}{2}$-$\frac{3}{2}$＜0，g（${e}^{\frac{5}{2}}$）=$\frac{e^2}{2}$-$\frac{5}{2}$＞0，
所以g（${e}^{\frac{3}{2}}$）g（${e}^{\frac{5}{2}}$）＜0．…．（10分）
由（1）知，函數(shù)g（x）在（2$\sqrt{e}$，+∞）上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)g （x）在區(qū)間（${e}^{\frac{3}{2}}$，${e}^{\frac{5}{2}}$）上有唯一零點，因此x₂＞${e}^{\frac{3}{2}}$，即x₂＞$e\sqrt{e}$…．（12分）
注：其它解法酌情給分．

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值，零點判定定理的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．