Question

14．平面向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$是夾角為60°的單位向量，且（$\overrightarrow{c}$-3$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$）≤0，則|$\overrightarrow{c}$|的取值范圍是[$\frac{\sqrt{13}-\sqrt{7}}{2}$，$\frac{\sqrt{13}+\sqrt{7}}{2}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)向量的數(shù)量積和坐標(biāo)運(yùn)算得到x²-$\frac{7}{2}x$+$\frac{3}{2}$+y²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$y≤0，即$\overrightarrow{c}$在是以（$\frac{7}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$）為圓心，以$\frac{\sqrt{7}}{2}$為半徑的圓上或圓的內(nèi)部，求出|0C|的距離，根據(jù)與半徑的關(guān)系即可得到|$\overrightarrow{c}$|的取值范圍．

解答 解：平面向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$是夾角為60°的單位向量，
設(shè)$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{c}$（x，y），
∴$\overrightarrow{c}$-3$\overrightarrow{a}$=（x-3，y），$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$=（x-$\frac{1}{2}$，y-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴（$\overrightarrow{c}$-3$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$）=x²-$\frac{7}{2}x$+$\frac{3}{2}$+y²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$y，
∵（$\overrightarrow{c}$-3$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$）≤0，
∴x²-$\frac{7}{2}x$+$\frac{3}{2}$+y²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$y≤0，
∴（x-$\frac{7}{4}$）²+（y-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）²≤$\frac{7}{4}$，
∴$\overrightarrow{c}$在是以（$\frac{7}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$）為圓心，以$\frac{\sqrt{7}}{2}$為半徑的圓上或圓的內(nèi)部，
∴|OC|=$\frac{2\sqrt{13}}{4}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
∴|$\overrightarrow{c}$|_min=|OC|-r=$\frac{\sqrt{13}-\sqrt{7}}{2}$，
∴|$\overrightarrow{c}$|_max=|OC|+r=$\frac{\sqrt{13}+\sqrt{7}}{2}$，
∴|$\overrightarrow{c}$|的取值范圍是[$\frac{\sqrt{13}-\sqrt{7}}{2}$，$\frac{\sqrt{13}+\sqrt{7}}{2}$]．
故答案為：[$\frac{\sqrt{13}-\sqrt{7}}{2}$，$\frac{\sqrt{13}+\sqrt{7}}{2}$]．

點(diǎn)評 本題考查了向量的數(shù)量積德運(yùn)算和圓的有關(guān)性質(zhì)，屬于中檔題．