Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{3}^{x}-1}{{3}^{x}+1}$
（I）判斷f（x）在R上的單調(diào)性，并加以證明
（II）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（ax-1）+f（$\frac{1}{2}$）≤0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先判斷函數(shù)為R上的增函數(shù)，再用單調(diào)性的定義加以證明；
（2）先判斷函數(shù)為奇函數(shù)，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及分離參數(shù)法解出a的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=1-$\frac{2}{3^x+1}$為R上的增函數(shù)，證明如下：
任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=2•（$\frac{1}{{3}^{{x}_{2}}+1}$-$\frac{1}{{3}^{{x}_{1}}+1}$）
=2•$\frac{{3}^{{x}_{1}}-{3}^{{x}_{2}}}{（{3}^{{x}_{1}}+1）（{3}^{{x}_{2}}+1）}$，
因?yàn)閤₁＜x₂，所以${3}^{{x}_{1}}＜{3}^{{x}_{2}}$，所以，f（x₁）-f（x₂）＜0，
故f（x）為R上的單調(diào)遞增函數(shù)；
（2）因?yàn)閒（-x）=$\frac{{3}^{-x}-1}{{3}^{-x}+1}$=-$\frac{{3}^{x}-1}{{3}^{x}+1}$=-f（x），
所以f（x）為R上的奇函數(shù)，且為增函數(shù)，
因此原不等式可化為，f（ax-1）≤f（-$\frac{1}{2}$），
所以，ax-1≤-$\frac{1}{2}$，即ax≤$\frac{1}{2}$，
分離參數(shù)a得，a≤$\frac{1}{2x}$在x∈[1，2]恒成立，
因此，a≤[$\frac{1}{2x}$]_min=$\frac{1}{4}$，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為：（-∞，$\frac{1}{4}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明，以及函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，不等式恒成立問(wèn)題的解法，屬于中檔題．