Question

9．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=2，直線A₁B與平面BB₁C₁C所成角的大小為arctan$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．求三棱錐C₁-A₁BC的體積．

Answer 1

分析 解法一：利用線面垂直的判定定理可得：A₁C₁⊥平面BB₁C₁C，因此∠A₁BC₁是直線A₁B與平面BB₁C₁C所成的角．利用tan∠A₁BC₁=$\frac{{A}_{1}{C}_{1}}{B{C}_{1}}$即可得出．
法二：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CC₁=y． 平面BB₁C₁C的法向量為$\overrightarrow n=（\;1，\;0，\;0\;）$．設(shè)直線A₁B與平面BB₁C₁C所成的角為θ，利用線面角公式：$sinθ=\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}B}||\overrightarrow{n}|}$即可得出．

解答 解法一：∵A₁C₁⊥B₁C₁，A₁C₁⊥CC₁，B₁C₁∩C₁C=C₁，
∴A₁C₁⊥平面BB₁C₁C，
∴∠A₁BC₁是直線A₁B與平面BB₁C₁C所成的角．
設(shè)CC₁=y，$B{C_1}=\sqrt{C{C_1}^2+B{C^2}}=\sqrt{{y^2}+4}$，
∴$tan∠{A_1}B{C_1}=\frac{{{A_1}{C_1}}}{{B{C_1}}}=\frac{2}{{\sqrt{{y^2}+4}}}=\frac{1}{{\sqrt{5}}}⇒y=4$，
∴${V_{{C_1}-{A_1}BC}}={V_{{A_1}-{C_1}BC}}=\frac{1}{3}{S_{△{C_1}BC}}•{A_1}{C_1}=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•BC•C{C_1}•{A_1}{C_1}=\frac{8}{3}$．
法二：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CC₁=y． 得點B（0，2，0），C₁（0，0，y），A₁（2，0，y）．
 則$\overrightarrow{{A_1}B}=（\;-2，\;2，\;-y\;）$，
平面BB₁C₁C的法向量為$\overrightarrow n=（\;1，\;0，\;0\;）$．
設(shè)直線A₁B與平面BB₁C₁C所成的角為θ，
則$sinθ=\frac{{|{\overrightarrow{{A_1}B}•\overrightarrow n}|}}{{|{\;\overrightarrow{{A_1}B}\;}|•|{\;\overrightarrow n\;}|}}=\frac{2}{{\sqrt{8+{y^2}}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}⇒y=4$，
∴$V={V_{{C_1}-{A_1}BC}}={V_{{A_1}-{C_1}BC}}=\frac{1}{3}{S_{△{C_1}BC}}•{A_1}{C_1}=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•BC•C{C_1}•{A_1}{C_1}=\frac{8}{3}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定定理、線面角的向量計算公式、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．