Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{a{x^2}}}{b+cx}$（a，b，c為常數(shù)），a，b分別是雙曲線x²-$\frac{y^2}{3}$=1的實(shí)半軸長、半焦距，且直線x-cy=2和直線y=x-3垂直．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)k＞1，解關(guān)于x的不等式f（x）＜$\frac{{（{k+1}）x-k}}{2-x}$．

Answer 1

分析 （1）利用雙曲線的性質(zhì)求出a，b，利用直線x-cy=2和直線y=x-3垂直，求出c，即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）分類討論，解不等式即可．

解答 解：（1）由題意，a=1，b=2，c=-1，
∴f（x）=$\frac{{a{x^2}}}{b+cx}$=$\frac{{x}^{2}}{2-x}$；
（2）不等式f（x）＜$\frac{{（{k+1}）x-k}}{2-x}$可化為不等式$\frac{{x}^{2}}{2-x}$＜$\frac{{（{k+1}）x-k}}{2-x}$
∴$\frac{（x-1）（x-k）}{2-x}$＜0，
∴1＜k＜2時(shí)，解集為{x|x＜1或k＜x＜2}；
k=2時(shí)，解集為{x|x＞1且x≠2}；
k＞2時(shí)，解集為{x|x＜1或2＜x＜k}．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查學(xué)生解不等式的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．