Question

11．在△ABC中，AC=1，BC=$\sqrt{2}$，以AB為邊作等腰直角三角形ABD（B為直角頂點，C，D兩點在直線AB的兩側(cè)），當(dāng)∠C變化時，線段CD長的最大值為3．

Answer 1

分析 設(shè)∠ABC=α，AB=BD=a，由余弦定理，得CD²=2+a²+2$\sqrt{2}$sinα，cosα=$\frac{{a}^{2}+1}{2\sqrt{2}a}$，由此能求出當(dāng)∠C變化時，線段CD長的最大值．

解答 解：設(shè)∠ABC=α，AB=BD=a，
在△BCD中，由余弦定理，
得CD²=BD²+BC²-2BD•BC•cos（90°+α）=2+a²+2$\sqrt{2}$sinα，
在△ABC中，由余弦定理，得cosα=$\frac{{a}^{2}+1}{2\sqrt{2}a}$，
∴sinα=$\frac{\sqrt{-{a}^{2}+6{a}^{2}-1}}{2\sqrt{2}a}$，∴CD²=$2+{a}^{2}+\sqrt{-{a}^{4}+6{a}^{2}-1}$，
令t=2+a²，則CD²=t+$\sqrt{-{t}^{2}+10t-17}$=t+$\sqrt{-（t-5）^{2}+8}$≤$\sqrt{2}•\sqrt{（t-5）^{2}+[-t（t-5）^{2}+8]}$+5=9，
當(dāng)（t-5）²=4時等號成立．
∴當(dāng)∠C變化時，線段CD長的最大值為3．
故答案為：3．

點評 本題考查線段長的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意余弦定理的合理運用．