Question

20．平面直角坐標系xOy中，點A（-2，0），B（2，0），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是$-\frac{3}{4}$．
（1）求點M的軌跡C的方程；
（2）直線l：y=x-1與曲線C相交于P₁，P₂兩點，Q是x軸上一點，若△P₁P₂Q的面積為$6\sqrt{2}$，求Q點的坐標．

Answer 1

分析 （1）設M（x，y），利用直線的斜率之積是$-\frac{3}{4}$，化簡整理得，點M的軌跡C的方程．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=x-1\end{array}\right.$消去y，設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），通過韋達定理，設Q（m，0），Q到直線l的距離$d=\frac{|m-1|}{{\sqrt{2}}}$與弦長公式，通過數據線的面積，列出方程求解即可．

解答 解：（1）設M（x，y），則$\frac{y}{x+2}•\frac{y}{x-2}=-\frac{3}{4}$…（2分）
化簡整理得，點M的軌跡C的方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$（x≠±2）…（4分）
（2）由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=x-1\end{array}\right.$得，7x²-8x-8=0…（5分）
設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），則${x_1}+{x_2}=\frac{8}{7}$，${x_1}•{x_2}=-\frac{8}{7}$…（6分），
$|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\frac{{12\sqrt{2}}}{7}$…（7分）
$|{P_1}{P_2}|=\sqrt{1+{k^2}}|{x_1}-{x_2}|=\frac{24}{7}$…（8分）
設Q（m，0），Q到直線l的距離$d=\frac{|m-1|}{{\sqrt{2}}}$…（9分）
依題意，$\frac{1}{2}×|{P_1}{P_2}|×d=6\sqrt{2}$…（10分）
代入化簡得，|m-1|=7…（11分）
解得m=8或m=-6，所求點為Q（8，0）或Q（-6，0）…（12分）

點評 本題考查軌跡方程的求法，直線與橢圓的位置關系的應用，考查轉化思想以及計算能力．