Question

3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓P在x軸上截得線段長為2$\sqrt{2}$，在y軸上截得線段長為2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求圓心P的軌跡方程；
（Ⅱ）若圓心P到直線2x-y=0的距離為$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求圓P的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)圓心為P（a，b），半徑為R，由題意知R²-b²=2，R²-a²=3，由此能求出圓心P的軌跡方程．
（Ⅱ）由題意知R²-b²=2，R²-a²=3，$\frac{|2a-b|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，由此能求出圓P的方程．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)圓心為P（a，b），半徑為R，
∵圓P在x軸上截得線段長為2$\sqrt{2}$，在y軸上截得線段長為2$\sqrt{3}$，
∴由題意知R²-b²=2，
R²-a²=3，
∴b²-a²=1，
∴圓心P的軌跡方程為y²-x²=1．
（Ⅱ）由題意知R²-b²=2，R²-a²=3，$\frac{|2a-b|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
解得a=0，b=1，R=$\sqrt{3}$或a=0，b=-1，R=$\sqrt{3}$或a=$\frac{4}{3}$，b=$\frac{5}{3}$，R=$\frac{\sqrt{43}}{3}$或a=-$\frac{4}{3}$，b=-$\frac{5}{3}$，R=$\frac{\sqrt{43}}{3}$，
∴滿足條件的圓P有4個：x²+（y-1）²=3或x²+（y+1）²=3或（x-$\frac{4}{3}$）²+（y-$\frac{5}{3}$）²=$\frac{43}{9}$或（x+$\frac{4}{3}$）²+（y+$\frac{5}{3}$）²=$\frac{43}{9}$．

點評 本題考查圓心的軌跡方程的求法，考查圓的方程的求法，解題時要認真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運用和理解．