Question

3．在數(shù)列{a_n}中．已知a₁=2，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$．
（1）求證：{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}是等比數(shù)列
（2）若對任意n∈N₊，a_n＞m恒成立，求m的最大值．

Answer 1

分析 （1）化簡可得$\frac{1}{{a}_{n}}$-1=2（$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1），從而可判斷{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}是以-$\frac{1}{2}$為首項(xiàng)，$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）知a_n=$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n}-1}$=1+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$，從而可得數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列，且當(dāng)n→+∞時(shí)，a_n→1；從而求得．

解答 證明：（1）∵a₁=2，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$，
∴a_n＞0恒成立；a_n+1a_n+a_n+1=2a_n，
∴1+$\frac{1}{{a}_{n}}$=2$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-1=2（$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{a}_{n}}$-1），
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$-1=-$\frac{1}{2}$，
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}是以-$\frac{1}{2}$為首項(xiàng)，$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列；
解：（2）∵{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}是以-$\frac{1}{2}$為首項(xiàng)，$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-1=-$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{2}$）^n-1=-（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴a_n=$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n}-1}$=1+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$，
∴數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列，且當(dāng)n→+∞時(shí)，a_n→1；
∴a_n＞1恒成立，
∴m的最大值為1．

點(diǎn)評 本題考查了整體思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，同時(shí)考查了構(gòu)造法的應(yīng)用及等比數(shù)列的判斷，同時(shí)考查了恒成立問題．