Question

10．已知函數(shù)f（x）=mlnx+$\frac{m^2}{x}$（其中m為常數(shù)），且x=1是f（x）的極值點．
（Ⅰ）設(shè)曲線y=f（x）在（$\frac{1}{e}$，f（$\frac{1}{e}$））處的切線為l，求l與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；
（Ⅱ）求證：f（x）＞4f′（x）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)曲線y=f（x）在（$\frac{1}{e}$，f（$\frac{1}{e}$））處的切線為l，求出切線l的方程，可得l與坐標(biāo)軸的交點，即可求l與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；
（Ⅱ）證明（f（x））_min=f_極小值（x）=f（1）=1，（4f'（x））_max=4f'（2）=1，故f（x）≥1≥4f'（x），但f（x）與4f'（x）不同時取得最值，即可證明：f（x）＞4f′（x）．

解答 （Ⅰ）解：由已知可得$f'（x）=\frac{m}{x}-\frac{m^2}{x^2}$，
則f'（1）=0⇒m=0或m=1，
而當(dāng)m=0與條件不符（舍去），∴m=1．                     …（2分）
所以$f（x）=lnx+\frac{1}{x}$，$f'（x）=\frac{x-1}{x^2}（x＞0）$，
從而$f（\frac{1}{e}）=e-1$，$f'（\frac{1}{e}）=e-{e^2}$，
故切線l的方程為：$y-（e-1）=（e-{e^2}）（x-\frac{1}{e}）$，…（4分）
l與坐標(biāo)軸的交點分別為$A（\frac{2}{e}\;，\;0）$，B（0，2e-2），
所以切線l與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為${S_{△ABO}}=\frac{1}{2}|OA|•|OB|$=$\frac{2e-2}{e}$． …（6分）
（Ⅱ）證明：對于$f'（x）=\frac{x-1}{x^2}（x＞0）$，
當(dāng)0＜x＜1時，f'（x）＜0；當(dāng)x=1時，f'（x）=0，當(dāng)x＞1時，f'（x）＞0．
∴f（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）遞增，
故（f（x））_min=f_極小值（x）=f（1）=1． …（8分）
又$f'（x）=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}（x＞0）$，令$t=\frac{1}{x}（x＞0）$，
則$f'（x）=h（t）=-{t^2}+t=-{（t-\frac{1}{2}）^2}+\frac{1}{4}（t＞0）$，
從而${（h（t））_{max}}=h（\frac{1}{2}）=\frac{1}{4}$，即（4f'（x））_max=4f'（2）=1．                …（10分）
故f（x）≥1≥4f'（x），但f（x）與4f'（x）不同時取得最值，
所以上式等號不同時成立，即f（x）＞4f'（x）成立．              …（12分）

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．