Question

11．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，點(diǎn)O是BD₁的中點(diǎn)，M是棱AA₁上的一點(diǎn)，請問：
（1）若M是AA₁的中點(diǎn)，求直線MO與AD₁所成角的大小；
（2）若M在線段AA₁（不為點(diǎn)A）上運(yùn)動，試求三棱錐M-ABD₁體積的最大值．

Answer 1

分析 （1）如圖所示，連接AC．利用三角形中位線定理可得MO∥AC，則∠CAD₁是直線MO與AD₁所成角．連接CD₁，利用△ACD₁是等邊三角形即可得出．
（2）當(dāng)點(diǎn)M取A₁點(diǎn)時(shí)，三棱錐M-ABD₁體積取得最大值．利用三棱錐M-ABD₁體積V=$\frac{1}{3}×{A}_{1}M×{S}_{△AB{D}_{1}}$，即可得出．

解答 解：（1）如圖所示，
連接AC．
∵M(jìn)是AA₁的中點(diǎn)，點(diǎn)O是BD₁的中點(diǎn)，
∴MO∥AC，則∠CAD₁是直線MO與AD₁所成角．
連接CD₁，則△ACD₁是等邊三角形．
∴∠CAD₁=60^°，即為直線MO與AD₁所成角的大�。�
（2）當(dāng)點(diǎn)M取A₁點(diǎn)時(shí)，三棱錐M-ABD₁體積取得最大值．
連接A₁D交AD₁于點(diǎn)M，則A₁M⊥平面ABD₁，
∴三棱錐M-ABD₁體積V=$\frac{1}{3}×{A}_{1}M×{S}_{△AB{D}_{1}}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×1$=$\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查了正方體的性質(zhì)、異面直線所成的角、三角形中位線定理、三棱錐的體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．