Question

14．如圖，將一個(gè)半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴萜魃戏降娜肟谔�，小球自由下落，小球在下落的過(guò)程中，將遇到黑色障礙物3次，最后落入A區(qū)域或B區(qū)域中，已知小球每次遇到障礙物時(shí)，向左、右兩邊下落的概率都是$\frac{1}{2}$．
（1）分別求出小球落入A區(qū)域和B區(qū)域中的概率；
（2）若在容器入口處依次放入3個(gè)小球，記X為落入B區(qū)域中的小球個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）記“小球落入A區(qū)域”為事件M，“小球落入B區(qū)域”為事件N，事件M的對(duì)立事件為事件N，小球落入A區(qū)域中當(dāng)且僅當(dāng)小球一直向左落下或一直向右落下，由此能分別求出小球落入A區(qū)域和B區(qū)域中的概率．
（2）由題意隨機(jī)變量X的所有可能的取值為0，1，2，3，且X～B（3，-$\frac{3}{4}$），由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）記“小球落入A區(qū)域”為事件M，“小球落入B區(qū)域”為事件N，
則事件M的對(duì)立事件為事件N，
而小球落入A區(qū)域中當(dāng)且僅當(dāng)小球一直向左落下或一直向右落下，
故P（M）=$\frac{1}{8}+\frac{1}{8}$=$\frac{1}{4}$．
∴P（N）=1-P（M）=1-$\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$．
（2）由題意隨機(jī)變量X的所有可能的取值為0，1，2，3，且X～B（3，-$\frac{3}{4}$），
P（X=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{1}{4}）^{3}=\frac{1}{64}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{1}{4}）^{2}（\frac{3}{4}）$=$\frac{9}{64}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{4}）（\frac{3}{4}）^{2}$=$\frac{27}{64}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{3}{4}）^{3}$=$\frac{27}{64}$，
∵X的分布列為：

X	0	1	2	3$\frac{27}{64}$
P	$\frac{1}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{27}{64}$

EX=$3×\frac{3}{4}$=$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．