Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA=AB=3，BC=2，E、F分別是棱AD，PC的中點
（1）求證：EF⊥平面PBC
（2）若直線PC與平面ABCD所成角為

π

4

，點P在AB上的射影O在靠近點B的一側(cè)，求二面角P-EF-A的余弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）取PB的中點G，連接AQ，F(xiàn)G，則AG⊥PB，BC⊥AB，從而BC⊥平面PAB，BC⊥AG，由此能證明EF⊥平面PBC．
（2）作PO⊥AB=0，連接OC，以O(shè)為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角P-EF-A的余弦值．

解答： （1）證明：取PB的中點G，連接AQ，F(xiàn)G，
∵PA=AB，∴AG⊥PB，
∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，BC⊥AB，
∴BC⊥平面PAB，
∴BC⊥AG，
∵PB∩BC=B，
∴AG⊥平面PBC
∵E、F分別是棱AD，PC的中點，
∴FG∥AE，F(xiàn)G=AE，
∴四邊形AEFG是平行四邊形，
∴EF∥AG，
∴EF⊥平面PBC．
（2）解：作PO⊥AB=0，則PO⊥平面ABCD，
連接OC，則∠PCO=

π

4

，
∴PO=OC，設(shè)AO=x，則

9-x2

=

4+(3-x)2

，解得x=2，
以O(shè)為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，
則P（0，0，

5

），A（-2，0，0），C（1，2，0），
D（-2，2，0），E（-2，1，0），F(xiàn)（

1

2

，1，

5

2

），

PE

=(-2，1，-

5

)，

PF

=(

1

2

，1，-

5

2

)，

PE

=(-2，1，-

5

)，

PF

=(

1

2

，1，-

5

2

)，
設(shè)平面PEF的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • PE =-2x+y- 5 z=0 n • PF = 1 2 x+y- 5 2 x=0

，取x=1，得

n

=（1，-3，-

5

），
設(shè)平面AEF的法向量

m

=(a，b，c)，
∵

EA

=(0，-1，0)，

FA

=(-

5

2

，-1，-

5

2

)，
∴

m • EA =-b=0 m • FA =- 5 2 a-b- 5 2 c=0

，取a=1，得

m

=(1，0，-

5

)，
設(shè)二面角P-EF-A的平面角為α，
則cosα=|coss＜

n

，

m

＞|=|

1+5

15 × 6

|=

10

5

．
∴二面角P-EF-A的余弦值為

10

5

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．