Question

20．已知數(shù)列{a_n}中a₁=2，a₂=1，a_n+2=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2{a}_{n+1}}{{a}_{n}}，{a}_{n+1}≥2}\\{\frac{4}{{a}_{n}}，{a}_{n+1}＜2}\end{array}\right.$（n∈N^*），S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，則S₇₇₈=2020．

Answer 1

分析 通過計算出前幾項的值確定周期，進(jìn)而計算可得結(jié)論．

解答 解：依題意，a₁=2，a₂=1，a₃=$\frac{4}{{a}_{1}}$=$\frac{4}{2}$=2，
a₄=$\frac{2{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{2×2}{1}$=4，a₅=$\frac{2{a}_{4}}{{a}_{3}}$=$\frac{2×4}{2}$=4，
a₆=$\frac{2{a}_{5}}{{a}_{4}}$=$\frac{2×4}{4}$=2，a₇=$\frac{2{a}_{6}}{{a}_{5}}$=$\frac{2×2}{4}$=1，
…
∴數(shù)列{a_n}是以5為周期的周期數(shù)列，
∵778=5×155+3，
∴S₇₇₈=（2+1+2+4+4）×155+（2+1+2）=2020，
故答案為：2020．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，找出周期是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．