Question

7．已知F為拋物線y²=4x的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F引一條直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，與拋物線準(zhǔn)線交于D點(diǎn)．
（Ⅰ）求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的值；
（Ⅱ）在拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使直線MA，MD，MB的斜率成等差數(shù)列，若存在，求出M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)l：x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則聯(lián)立方程化簡(jiǎn)可得y²-4my-4=0，從而可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂=-3；
（Ⅱ）設(shè)M（a²，2a），則k_MA=$\frac{{y}_{1}-2a}{{x}_{1}-{a}^{2}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+2a}$，k_MB=$\frac{4}{{y}_{2}+2a}$，k_MD=$\frac{2a+\frac{2}{m}}{{a}^{2}+1}$，可得2×$\frac{2a+\frac{2}{m}}{{a}^{2}+1}$=$\frac{4}{{y}_{2}+2a}$+$\frac{4}{{y}_{1}+2a}$恒成立，從而可a²-1）（m+$\frac{1}{m}$）=0，即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答 解：（Ⅰ）由題意知，拋物線y²=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ 1，0），∴直線AB的方程為x=my+1（m≠0），
代入拋物線方程得y²-4my-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，x₁•x₂=1，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂=-3；
（Ⅱ）設(shè)M（a²，2a），
k_MA=$\frac{{y}_{1}-2a}{{x}_{1}-{a}^{2}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+2a}$，
同理，k_MB=$\frac{4}{{y}_{2}+2a}$，k_MD=$\frac{2a+\frac{2}{m}}{{a}^{2}+1}$，
∵直線MA，MD，MB的斜率始終成等差數(shù)列，
∴2×$\frac{2a+\frac{2}{m}}{{a}^{2}+1}$=$\frac{4}{{y}_{2}+2a}$+$\frac{4}{{y}_{1}+2a}$恒成立；
又∵y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，
∴（a²-1）（m+$\frac{1}{m}$）=0，
∴a=±1，
∴存在點(diǎn)M（1，2）或M（1，-2），使得對(duì)任意直線l，直線MA，MD，MB的斜率始終成等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，同時(shí)考查了學(xué)生的化簡(jiǎn)能力，屬于中檔題．