Question

12．在市高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)學(xué)科考試后，某同學(xué)對(duì)老師說(shuō)：第（Ⅰ）卷為十道選擇題，每題5分，前六道沒(méi)錯(cuò)，第7、8、9三題均有兩個(gè)選項(xiàng)能排除，第10題只有一個(gè)選項(xiàng)能排除．
（Ⅰ）求該同學(xué)選擇題得40分的概率；
（Ⅱ）若（Ⅱ）卷能拿65分，該同學(xué)數(shù)學(xué)得分的期望和得分不低于100分的概率．

Answer 1

分析 （I）確定第7、8、9三題做對(duì)的概率，第10題做對(duì)的概率，運(yùn)用題意得出P=${C}_{3}^{2}$（$\frac{1}{2}$）²（1-$\frac{1}{2}$）（1$-\frac{1}{3}$）+${C}_{3}^{1}$×$\frac{1}{2}×$（1-$\frac{1}{2}$）²×$\frac{1}{3}$=$\frac{3}{8}$．
（II）確定概率分布需要的概率，求解E（X），利用互斥事件的概率問(wèn)題求解．

解答 解：（Ⅰ） 第7、8、9三題均有兩個(gè)選項(xiàng)能排除，
因此，第7、8、9三題做對(duì)的概率均為$\frac{1}{2}$，第10題只有一個(gè)選項(xiàng)能排除，
因此，第10題做對(duì)的概率為$\frac{1}{3}$．
所以，該同學(xué)選擇題得40（分）的概率P為：
P=${C}_{3}^{2}$（$\frac{1}{2}$）²（1-$\frac{1}{2}$）（1$-\frac{1}{3}$）+${C}_{3}^{1}$×$\frac{1}{2}×$（1-$\frac{1}{2}$）²×$\frac{1}{3}$=$\frac{3}{8}$
（Ⅱ）設(shè)該同學(xué)7、8、9、10題中做對(duì)的題數(shù)為X，則隨機(jī)變量X的分布列為

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{7}{24}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{5}{24}$	$\frac{1}{24}$

E（X）=0×$\frac{1}{12}$$+1×\frac{7}{24}$$+2×\frac{3}{8}$$+3×\frac{5}{24}$$+4×\frac{1}{24}$=$\frac{11}{6}$，
所以，該同學(xué)數(shù)學(xué)得分的期望為30$+5×\frac{11}{6}$+65=$104\frac{1}{6}$．
該同學(xué)數(shù)學(xué)得分不低于100分的概率為P=$\frac{7}{24}$$+\frac{3}{8}$$+\frac{5}{24}$$+\frac{1}{24}$=$\frac{11}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，考查學(xué)生探究研究問(wèn)題的能力，解題時(shí)要認(rèn)真審題，理解古典概型的特征：試驗(yàn)結(jié)果的有限性和每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的等可能性，體現(xiàn)了化歸的重要思想