Question

3．若函數f（x）=lnx+x+$\frac{2}{x}$-a有零點，則a的取值范圍是[3，+∞）．

Answer 1

分析 由f（x）=0得a=lnx+x+$\frac{2}{x}$，構造函數g（x）=lnx+x+$\frac{2}{x}$，利用導數，求函數的極值即可得到結論．

解答 解：f（x）=lnx+x+$\frac{2}{x}$-a=0得a=lnx+x+$\frac{2}{x}$，
設g（x）=lnx+x+$\frac{2}{x}$，則函數的定義域為（0，+∞），
則函數的導數g′（x）=$\frac{1}{x}+1-\frac{2}{{x}^{2}}$，
由g′（x）=$\frac{1}{x}+1-\frac{2}{{x}^{2}}$=0，得$\frac{2}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$-1=0，
即（$\frac{1}{x}$-1）（$\frac{2}{x}$+1）=0
∵x＞0，∴$\frac{2}{x}$＞0，
∴$\frac{1}{x}$-1=0，即$\frac{1}{x}$=1，解得x=1．
當0＜x＜1時，g′（x）＜0，此時函數g（x）遞減，
當x＞1時，g′（x）＞0，此時函數g（x）遞增，
即當x=1時，函數g（x）取得極小值，g（1）=ln1+1+2=3，
即g（x）≥3，
若函數f（x）=lnx+x+$\frac{2}{x}$-a有零點，即方程g（x）=lnx+x+$\frac{2}{x}$=a有解，
即a≥3，
故a的取值范圍是[3，+∞），
故答案為：[3，+∞）

點評 本題主要考查函數零點的意義，構造函數，利用導數求出函數的最值是解決本題的關鍵．綜合性較強．