Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³-12x+5，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）=a有3個不同實根，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導數(shù)的概念及應(yīng)用,導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）求出函數(shù)的導函數(shù)，進而分析導函數(shù)在不同區(qū)間上的符號，進而根據(jù)導函數(shù)為正，對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；導函數(shù)為負，對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，得到f（x）的單調(diào)區(qū)間；再由左增右減對應(yīng)函數(shù)的極大值，左減右增，對應(yīng)函數(shù)的極小值，得到f（x）的極值；
（II）由（Ⅰ）作出函數(shù)f（x）的草圖，進而得到方程f（x）=a有3個不同實根，可轉(zhuǎn)化為a值，介于函數(shù)的兩極值之間，進而得到實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x³-12x+5，
∴f′（x）=3x²-12=3（x+2）（x-2）…（1分）
令f′（x）=0得：x₁=-2，x₂=2…（2分）
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大	減	極小	增

所以f（x）的增區(qū)間是（-∞，-2）和（2，+∞），減區(qū)間是（-2，2）；  …（6分）
當x=-2時，f（x）取得極大值，極大值f（-2）=21；         …（7分）
當x=2時，f（x）取得極小值，極小值f（2）=-11．…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，作出函數(shù)f（x）的草圖如圖所示：

由圖可得：
函數(shù)的極大值為f（-2）=21，
函數(shù)的極大值為f（2）=-11，
則方程f（x）=a有3個不同實根，
可化為函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=a的圖象有三個交點，
故a∈（-11，21），
所以，實數(shù)a的取值范圍是（-11，21）．…（12分）

點評：本題考查的知識點是根的存在及根的個數(shù)判斷，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，是函數(shù)與導數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔．