Question

2．設(shè)F₁、F₂為橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦點，過F₂作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若∠PF₁F₂=60°，則橢圓的離心率是2-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 把x=c代入可得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，解得y，利用∠PF₁F₂=60°，即可得出．

解答 解：把x=c代入可得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，解得y=±$\frac{^{2}}{a}$，
∵∠PF₁F₂=60°，
∴$\frac{^{2}}{a}$=$\sqrt{3}×2c$，
化為e²+2$\sqrt{3}$e-1=0，又0＜e＜1，
解得e=2-$\sqrt{3}$．
故答案為：2-$\sqrt{3}$．

點評 本題了考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．