Question

11．據(jù)測算：某企業(yè)某一種產(chǎn)品的年銷售量m萬件與年促銷費用x萬元（x≥0）滿足m=6-$\frac{5}{x+1}$．已知該產(chǎn)品的前期投入需要4萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入10萬元，企業(yè)將每件該產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品年平均成本的$\frac{3}{2}$倍．（定價不考慮促銷成本）．
（1）如果該企業(yè)不搞促銷活動，那么該產(chǎn)品的年銷售量是多少萬件？
（2）試將該產(chǎn)品的年利潤y（萬元）表示為年促銷費用x（萬元）的函數(shù)；
（3）x為何值時，該產(chǎn)品的年利潤最大，最大年利潤是多少萬元？

Answer 1

分析 （1）令x=0，求出相應(yīng)m值，可得答案；
（2）先計算出產(chǎn)品的銷售價格，進而可得年利潤的表達式；
（3）根據(jù)（2）中表達式，結(jié)合基本不等式，可得該產(chǎn)品的年利潤的最大值．

解答 解：（1）由x=0得：m=1，
即該企業(yè)不搞促銷活動，那么該產(chǎn)品的年銷售量是1萬件；
（2）由m=6-$\frac{5}{x+1}$，
每件產(chǎn)品的銷售價格為：$\frac{3}{2}$×$\frac{4+10m}{m}$（元），
則該產(chǎn)品的年利潤y=m•$\frac{3}{2}$×$\frac{4+10m}{m}$-（4+10m+x）
=2+5m-x
=2+5（6-$\frac{5}{x+1}$）-x
=-[（x+1）+$\frac{25}{x+1}$]+37，（x≥0）
（3）∵y=-[（x+1）+$\frac{25}{x+1}$]+37≤-$2\sqrt{\frac{25}{x+1}•（x+1）}$+37=27，
（當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{25}{x+1}=（x+1）$，即x=4時，等號成立）．
即該廠家的年促銷費用投入為4萬元時，該廠家的年利潤最大，最大年利潤為27萬元

點評 本題考查了學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．