Question

6．已知點(diǎn)P是橢圓$\frac{{x}^{2}}{72}$+$\frac{{y}^{2}}{36}$=1上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓O：x²+y²=36的切線，切線與橢圓的另一交點(diǎn)為點(diǎn)Q
（1）當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3$\sqrt{2}$，且過(guò)點(diǎn)P作圓O的切線有兩條時(shí)，求兩切線斜率的和；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段PQ長(zhǎng)度的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用直線與橢圓相切的性質(zhì)及其一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系即可得出；
（2）設(shè)⊙O的切線PQ的方程為：my+t=x，可得$\frac{|t|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=6，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my+t=x}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=72}\end{array}\right.$，化為（m²+2）y²+2mty+t²-72=0，△＞0，化為36m²+72＞t²．利用根與系數(shù)的關(guān)系及其|PQ|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$，及其基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）如圖所示，
不妨設(shè)過(guò)點(diǎn)P（3$\sqrt{2}$，3$\sqrt{3}$）的切線方程方程為：y-3$\sqrt{3}$=k（x-3$\sqrt{2}$），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2{y}^{2}=72}\\{y-3\sqrt{3}=k（x-3\sqrt{2}）}\end{array}\right.$，
化為：（1+2k²）x²+12k$（\sqrt{3}-\sqrt{2}k）$x+$18（\sqrt{3}-\sqrt{2}k）^{2}$-72=0，
∵直線與橢圓相切可得：△=144k²$（\sqrt{3}-\sqrt{2}k）^{2}$-4（1+2k²）[$18（\sqrt{3}-\sqrt{2}k）^{2}$-72]=0，
化為6k²+2$\sqrt{6}$k+1=0，
∴k₁+k₂=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（2）設(shè)⊙O的切線PQ的方程為：my+t=x，
則$\frac{|t|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=6，化為t²=36（m²+1）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my+t=x}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=72}\end{array}\right.$，化為（m²+2）y²+2mty+t²-72=0，
△=4m²t²-4（m²+2）（t²-72）=4（72m²-2t²+144）＞0，化為36m²+72＞t²．
∴y₁+y₂=$\frac{-2mt}{{m}^{2}+2}$，y₁y₂=$\frac{{t}^{2}-72}{{m}^{2}+2}$．
∴|PQ|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[\frac{4{m}^{2}{t}^{2}}{（{m}^{2}+2）^{2}}-\frac{4（{t}^{2}-72）}{{m}^{2}+2}]}$=$\frac{12\sqrt{2（1+{m}^{2}）}}{{m}^{2}+2}$．
設(shè)$\sqrt{1+{m}^{2}}$=s≥1，
則|PQ|=$\frac{12\sqrt{2}s}{{s}^{2}+1}$=$\frac{12\sqrt{2}}{s+\frac{1}{s}}$≤6$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)s=1，即m=0時(shí)取等號(hào)，滿足△＞0．
∴線段PQ長(zhǎng)度的最大值為6$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題、直線與圓相切的充要條件、點(diǎn)到直線的距離公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．