Question

3．設(shè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁為常數(shù)，且${a_{n+1}}={3^n}-2{a_n}（n∈{N_+}）$．
（1）若${a_1}≠\frac{3}{5}$，證明：$\left\{{{a_n}-\frac{3^n}{5}}\right\}$是等比數(shù)列；
（2）若${a_1}=\frac{3}{2}$，{a_n}中是否存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，寫出這三項(xiàng)，若不存在說明理由．
（3）若{a_n}是遞增數(shù)列，求a₁的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等比數(shù)列的定義，結(jié)合條件，即可得證；
（2）由（1）求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，再由等差數(shù)列的性質(zhì)，得到方程，求出n，即可判斷；
（3）運(yùn)用數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，作差，再由n為偶數(shù)和奇數(shù)，通過數(shù)列的單調(diào)性，即可得到范圍

解答 （1）證明：因?yàn)?\frac{{a}_{n+1}-\frac{1}{5}•{3}^{n+1}}{{a}_{n}-\frac{1}{5}•{3}^{n}}$=$\frac{{3}^{n}-2{a}_{n}-\frac{1}{5}•{3}^{n+1}}{{a}_{n}-\frac{1}{5}•{3}^{n}}$
=$\frac{\frac{2}{5}•{3}^{n}-2{a}_{n}}{-（\frac{1}{5}•{3}^{n}-{a}_{n}）}$=-2，
所以數(shù)列{a_n-$\frac{{3}^{n}}{5}$}是首項(xiàng)為a₁-$\frac{3}{5}$，公比為-2的等比數(shù)列；
（2）解：{a_n-$\frac{{3}^{n}}{5}$}}是公比為-2，首項(xiàng)為a₁-$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{10}$的等比數(shù)列．
通項(xiàng)公式為a_n=$\frac{{3}^{n}}{5}$+（a₁-$\frac{3}{5}$）（-2）^n-1=$\frac{{3}^{n}}{5}$+$\frac{9}{10}$•（-2）^n-1，
若{a_n}中存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列，則必有2a_n+1=a_n+a_n+2，
即2[$\frac{{3}^{n+1}}{5}$+$\frac{9}{10}$•（-2）ⁿ]=$\frac{{3}^{n}}{5}$+$\frac{9}{10}$•（-2）^n-1+$\frac{{3}^{n+2}}{5}$+$\frac{9}{10}$•（-2）ⁿ⁺¹，
解得n=4，即a₄，a₅，a₆成等差數(shù)列．  
（3）解：如果a_n+1＞a_n成立，
即$\frac{{3}^{n+1}}{5}$+（a₁-$\frac{3}{5}$）•（-2）ⁿ＞$\frac{{3}^{n}}{5}$+（a₁-$\frac{3}{5}$）•（-2）^n-1對(duì)任意自然數(shù)均成立．
化簡得$\frac{4}{15}$•3ⁿ＞-（a₁-$\frac{3}{5}$）•（-2）ⁿ，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)a₁＞$\frac{3}{5}$-$\frac{4}{15}$•（$\frac{3}{2}$）ⁿ，
因?yàn)閜（n）=$\frac{3}{5}$-$\frac{4}{15}$•（$\frac{3}{2}$）ⁿ是遞減數(shù)列，
所以p（n）_max=p（2）=0，即a₁＞0；     
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a₁＜$\frac{3}{5}$+$\frac{4}{15}$•（$\frac{3}{2}$）ⁿ，
因?yàn)閝（n）=$\frac{3}{5}$+$\frac{4}{15}$•（$\frac{3}{2}$）ⁿ是遞增數(shù)列，
所以q（n）_min=q（1）=1，即a₁＜1；
故a₁的取值范圍為（0，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的證明，考查等差數(shù)列的性質(zhì)和已知數(shù)列的單調(diào)性，求參數(shù)的范圍，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．