15.已知a,b,c分別是△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊,sin2B=2sinAsinC.
(1)若a=b,求cosB的值;
(2)若B=60°,△ABC的面積為4$\sqrt{3}$,求b的值.

分析 (1)由已知及正弦定理可得:b2=2ac,又a=b,即可用c表示a,b,利用余弦定理可求cosB的值.
(2)由已知及三角形面積公式可解得ac=16,結(jié)合(1)可求得b2=2ac=32,從而可求b的值.

解答 解:(1)由已知及正弦定理可得:b2=2ac,…2分
又a=b,可得:b=2c,a=2c,…4分
由余弦定理可得:cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{(2c)^{2}+{c}^{2}-(2c)^{2}}{2(2c)•c}$=$\frac{1}{4}$…7分
(2)∵由已知可得S△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=4$\sqrt{3}$,即:$\frac{1}{2}$acsin60°=4$\sqrt{3}$,…8分
∴$\frac{1}{2}$ac$•\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$,解得:ac=16,…10分
又∵由(1)得:b2=2ac=32,…11分
∴解得:b=4$\sqrt{2}$…12分

點評 本題主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.

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