2.如圖,底面為正方形且各側(cè)棱長均相等的四棱錐V-ABCD可繞著棱AB任意旋轉(zhuǎn),若AB?平面α,M、N分別是AB、CD的中點,AB=2,VA=$\sqrt{5}$,點V在平面α上的射影為點O,則當ON的最大時,二面角C-AB-O的大小是( 。
A.90°B.105°C.120°D.135°

分析 根據(jù)條件確定二面角的平面角,結(jié)合余弦定理以及兩角和差的余弦公式以及倍角公式進行求解即可.

解答 解:設(shè)∠VMO=θ,
則∵M、N分別是AB、CD的中點,AB=2,VA=$\sqrt{5}$,
∴AM=1,VM=$\sqrt{V{A}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{5-1}=\sqrt{4}$=2,
MN=BC=AB=2,VN=VM=2,
則三角形VNM為正三角形,則∠NMV=60°,
則OM=2cosθ,
在三角形OMN中,
ON2=MN2+OM2-2MN•OMcos(60°+θ)=4+4cos2θ-2×2×2cosθcos(60°+θ)
=4+4cos2θ-8cosθ($\frac{1}{2}$cosθ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ)
=4+4cos2θ-4cos2θ+4$\sqrt{3}$sinθcosθ
=4+2$\sqrt{3}$sin2θ,
∴要使ON最大,則只需要sin2θ=1,即2θ=90°即可,則θ=45°,
此時二面角C-AB-O的大小∠OMN=60°+θ=60°+45°=105°,
故選:B

點評 本題主要考查二面角的求解,根據(jù)條件求出二面角的平面角.結(jié)合余弦定理以及兩角和差的余弦公式進行化簡是解決本題的關(guān)鍵.

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