Question

12．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{\sqrt{a}x+b}}{{1+{x^2}}}$是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且$f（\frac{1}{2}）=\frac{2}{5}$．
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）判斷并證明f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件，奇函數(shù)f（x）在原點有定義，從而f（0）=b=0，從而$f（x）=\frac{\sqrt{a}x}{1+{x}^{2}}$，而根據(jù)$f（\frac{1}{2}）=\frac{2}{5}$便可求出a=1，這樣便得出a，b的值；
（2）寫出$f（x）=\frac{x}{1+{x}^{2}}$，根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)任意的x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，然后作差，通分，提取公因式，便得到$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（1+{{x}_{1}}^{2}）（1+{{x}_{2}}^{2}）}$，可以說明f（x₁）＜f（x₂），從而得出f（x）在（-1，1）上為增函數(shù)．

解答 解：（1）∵f（x）是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)；
∴f（0）=b=0；
得$f（x）=\frac{{\sqrt{a}x}}{{1+{x^2}}}$；
而$f（\frac{1}{2}）=\frac{2}{5}\sqrt{a}=\frac{2}{5}$；
∴a=1；
∴a=1，b=0；
（2）$f（x）=\frac{x}{1+{x}^{2}}$，設(shè)x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂，則：
$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{（{x_1}-{x_2}）（1-{x_1}{x_2}）}}{{（{x_1}^2+1）（{x_2}^2+1）}}$；
∵x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂；
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＜1，1-x₁x₂＞0；
∴$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（{{x}_{1}}^{2}+1）（{{x}_{2}}^{2}+1）}＜0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（-1，1）上為增函數(shù)．

點評 考查奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)在原點有定義時，原點處的函數(shù)值為0，以及函數(shù)單調(diào)性的定義，根據(jù)單調(diào)性定義判斷一個函數(shù)單調(diào)性的方法和過程，作差的方法比較f（x₁），f（x₂），作差后，是分式的一般要通分，一般要提取公因式x₁-x₂．