Question

7．已知向量$\overrightarrow{m}$=（cos2x，$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1}{2}cosx$），$\overrightarrow{n}$=（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}sinx-\frac{1}{2}cosx$），設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）取得最大值時(shí)x取值的集合；
（Ⅱ）設(shè)A，B，C為銳角三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角，若cosB=$\frac{3}{5}$，f（C）=-$\frac{1}{4}$，求sinA的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由向量和三角函數(shù)公式可得f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，易得最值和x集合；
（Ⅱ）由題意和同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得sinB，再由前面所求可得C=$\frac{π}{3}$，代入sinA=sin（$\frac{2π}{3}$-B）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB，計(jì)算可得．

解答 解：（Ⅰ）∵向量$\overrightarrow{m}$=（cos2x，$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1}{2}cosx$），$\overrightarrow{n}$=（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}sinx-\frac{1}{2}cosx$），
∴函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=cos2x+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1}{2}cosx$）²
=cos2x+$\frac{3}{4}$sin²x+$\frac{1}{4}$cos²x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx
=$\frac{3}{4}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x+$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$
故當(dāng)cos（2x+$\frac{π}{6}$）=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
此時(shí)2x+$\frac{π}{6}$=2kπ，解得x=kπ-$\frac{π}{12}$，k∈Z，
故x取值的集合為{x|x=kπ-$\frac{π}{12}$，k∈Z}；
（Ⅱ）∵A，B，C為銳角三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角，且cosB=$\frac{3}{5}$，
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{4}{5}$，又f（C）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（2C+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{4}$，
∴cos（2C+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴2C+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，解得C=$\frac{π}{3}$，
∴sinA=sin（$\frac{2π}{3}$-B）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB
=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{3}{5}+\frac{1}{2}×\frac{4}{5}$=$\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查解三角形，涉及三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和同角三角函數(shù)基本關(guān)系以及向量的知識(shí)，屬中檔題．