Question

12．福建省第十六屆運動會將于2018年在寧德舉行，為了更好的迎接運動會，做好夏季降溫的同時要減少能源消耗，某體育館外墻需要建造可使用30年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為2萬元，設每年的能源消耗費用為C（單位：萬元），隔熱層厚度為x（單位：厘米），二者滿足函數關系式：C（x）=$\frac{k}{x+5}$（0≤x≤15，k為常數）．已知隔熱層厚度為10厘米時，每年能源消耗費用1萬元．設f（x）為隔熱層建造費用與30年的能源消耗費用之和．
（1）求k的值及f（x）的表達式
（2）隔熱層修建多厚時，總費用f（x）達到最小，并求出最小值．

Answer 1

分析 （1）由每年的能源消耗費用為C（x），當x=10時，c=1，可得k的值；又加裝隔熱層的費用為C₁（x），所以總費用函數f（x）可表示出來，其定義域可得；
（2）對函數f（x）變形，利用基本不等式求得最值，即得所求．

解答 解：（1）x=10時，c=1，∴k=15，
∴C（x）=$\frac{15}{x+5}$，
∴f（x）=30×$\frac{15}{x+5}$+2x=$\frac{450}{x+5}$+2x（0≤x≤15）；
（2）f（x）=$\frac{450}{x+5}$+2x=$\frac{450}{x+5}$+2（x+5）-10≥2$\sqrt{\frac{450}{x+5}•2（x+5）}$-10=50，
當且僅當$\frac{450}{x+5}$=2（x+5），即x=10，f（x）的最小值為50，
∴當隔熱層修建10cm厚時，總費用達到最小值為50萬元．

點評 本題考查了平均值不等式在函數極值中的應用，在利用平均值不等式求最值時，要注意等號成立的條件是什么．