Question

17．已知a＞0，求證：（a+$\frac{1}{a}$）-$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}$≤2-$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 通過令t=a+$\frac{1}{a}$可知t≥2（當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)取等號(hào)），進(jìn)而利用分析法證明即可．

解答 證明：依題意，令t=a+$\frac{1}{a}$，則t≥2（當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)取等號(hào)），
要證（a+$\frac{1}{a}$）-$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}$≤2-$\sqrt{2}$，即證t-$\sqrt{{t}^{2}-2}$≤2-$\sqrt{2}$，
只需證t+$\sqrt{2}$≤2+$\sqrt{{t}^{2}-2}$，即證$（t+\sqrt{2}）^{2}$≤$（2+\sqrt{{t}^{2}-2}）^{2}$，
整理得：t≤$\sqrt{2}$•$\sqrt{{t}^{2}-2}$，
只需證：t²≤2（t²-2），即證t²≥4，
由t≥2可知t²≥4，從而命題得證．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，考查分析法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．